开关电容电路简析

首先我们看第一种情况：一个恒压源Vo给电容C充电

可以看到电压源损失的能量是CVo^2， 而电容C上获得的能量是0.5CVo^2，那么一半的能量在充电过程中损失了。如果我们假设开关是理想的，Ron=0，那么loss是那里产生的呢？有答案认为是电磁辐射发散出去的。我们知道，如果开关是理想的，在接通开关的一瞬间，开关上流过的电流是无穷大的，一个无穷大的电流流过Ron=0的开关，产生的loss其实是一个取极限的结果：。不管怎样，我们知道了一个恒压源Vo给电容C充电要有0.5CVo^2的loss.

第二种情况：一个电压为Vo的巨大电容Cbig给一个电压为V1的电容C充电（Vo>V1），使小电容电压到Vo，我们仍然假设开关是理想的，Ron=0.

可以看到Cbig电容损失的能量是CVo(Vo-V1), 而C电容上获得的能量是0.5C（Vo^2-V1^2）,充电过程中损失的loss是0.5*C（V0-V1）^2，所以，我们可以看到电压不同的电容之间充电也会有loss的。

那么有些不死心的朋友要问了：有没有情况下给电容充电是无损（lossless）的呢？答案是有的，我们来看第三种情况：一个电流源I给电容充电，把电容的电压从V1提升到V0.

可以看到电流源I损失的能量等于电容上得到的能量等于0.5C（Vo^2-V1^2）,充电过程是无损的！

以上就是开关电容电路（switched capacitor converter）的loss雏形，那么我们为什么要费尽心思搞这个有loss的switched capacitor converter呢？这是因为在实际生活中，好电容易得，但好电感难求！尤其是在集成电路（integrated circuit）领域，magnetics（比如电感、变压器）是很难集成到芯片里面的，如果我们只用电容和transistor搭建一个converter，功率密度（power density）会极大提高！1k-2k W/inch³ 的converter也是有可能做出来的！

举一个例子，我们来看一个最经典结构： 2-1 ladder switched capacitor converter。其中gate signal：Q1与Q3同时开启与关闭，Q2与Q4同时开启与关闭。g1与g2，g3与g3是half bridge，也就是两对complementary开关的管子。Marek和Dragan在1995年一篇TPE [1] 上提出任何switched capacitor converter都可以建模成一个DC变压器和一个输出电阻Ro，DC变压器的变压比M代表了converter的conversion ratio，输出电阻Ro代表了Converter的Loss。这里存在一个所谓的“Fast Switching Limit”和“Slow Switching Limit”问题了。这是什么意思呢？就是说SC converter在不同频率下代表Loss的Ro是不同的！那么如何求出M和RFSL（Fast Switching Limit Rout）和RSSL（slow Switching Limit Rout）成了我们关心的问题。

Mike.Seeman大神在他MS thesis [2] 里面详细阐述了这个问题，他用的是charge flow analysis，意思就是求出每个情况下通过各个elements的charge，然后进行M和loss Ro的计算。具体细节我就不赘述了，我自己瞎逼推导了一下，大家随便看看。

Conversion Ratio M：

Slow Switching Limit：

Fast Switching Limit：

最终，我们把Switched Capacitor Converter进行了简单的建模：

值得注意的是，Loss Ro的计算只考虑的conduction loss，而且是用平均电流代替了RMS电流来计算loss，没有考虑switching loss和gating loss，所以这只是一个很粗糙的模型，只是让我们直观感受一下converter loss与开关频率frequency的关系。我们其实希望SC converter工作在FSL范围内，这样的loss比SSL内小，但是我们又不希望频率过高，这样会带来其他switching loss和gating loss的损失。

SC Converter的好处例如high power density，利于集成等优点说了很多，但是缺点也是不容忽视的：比如conversion ratio固定，不能regulate output voltage；transient current很大。那么我们有没有办法解决这个问题呢？答案是有的，解决的手段就是用hybrid/resonant switched capacitor converter（还记得在第三幅图中电流源I给电容充电是无损的那个例子吗？）。在topology方面，我们在SC converter的输出或输入端串联一个传统的buck或者boost converter，或者在tank里面引入resonant电感，来实现soft charge和regulation。在control方面我们可以有frequency and/or phase shift control。具体细节这里就不再赘述了。

PS. 比起前面花里胡哨的charge flow analysis来分析Loss，Sarah和Jason Stauth大神在COMPEL 2016上提出了switched capacitor和 Hybrid/Resonant Switched-Capacitor Converters的Ro的通式 Ro(fs) ，对 Ro(fs)取fs->0和fs->inf 两端极限就可以得到“Fast Switching Limit”和“Slow Switching Limit”的Ro了。可谓重剑无锋，大巧不工，这篇文章获得了2016 COMPEL最佳文章之一。

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